Funções - Notas de Aula


Conteúdo dessa página:
  • Log semanal do que foi dado na minha aula de Funções (frente MAT-1), contendo apenas os tópicos mais importantes vistos (não é uma cópia da lousa ou conteúdo completo)
  • Listas de exercícios (aproximadamente 1 lista a cada 3 aulas)
  • Links com vídeos e sites pertinentes à matéria dada no dia
Esta página não substitui as aulas presenciais. É apenas um histórico/log do que já foi dado. Se eu conseguir, a atualizarei antes de cada aula. Assim você poderá saber com antecedência o que será dado no dia, e poderá estudar o tópico antecipadamente para tirar as dúvidas em sala. Colocarei aqui também, possivelmente antes das aulas, listas de exercícios (aproximadamente 1 lista a cada 3 aulas). Neste caso tente resolver a lista antes das aulas, e tire as dúvidas na sala.

Resumindo:
  • Visite sempre esta página, antes das aulas
  • Tente fazer os exercícios de listas antes das aulas
  • Estude os conteúdos antes das aulas
  • Tire as dúvidas na aula
Bons estudos!


06/03/2014 - Aula 01 (Conjuntos Numéricos)


  • Conjuntos Numéricos: N, Z, Q, R-Q (Irracionais), R, C.
    • N = Naturais = {0, 1, 2, 3, ...}
    • N* = N - {0} = {1, 2, 3, 4, 5, ...}
    • Z = Inteiros = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...}
    • Z* = Z - {0} = {..., -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, ...}
    • Z- = Inteiros não-positivos = {..., -3, -2, -1, 0}
    • Z+ = Inteiros não-negativos = {0, 1, 2, 3, 4, ...}
    • Q = Racionais = {p/q | p e q são Inteiros, com q diferente de 0}
    • Q* = Q - {0}
    • Q+ = Racionais não-negativos = {p racional >= 0}
    • Q- = Racionais não-positivos = {p racional <= 0}
    • R - Q = Irracionais. São os números que não podem ser escritos na forma de fração. Exemplos: raíz de 2, Pi, e (número de Euler)
    • R = Reais. Inclui os Racionais + os Irracionais.
    • C = Complexos = {z = a.i + b | a e b são reais, e i é a unidade imaginária}
Todos os conjuntos podem ser estrelados ( * ), para indicar que o elemento 0 (nulo) não faz parte do conjunto.

Todos os conjuntos, com exceção do C, podem ser " + " ou " - ", para indicar que os elementos são todos >= 0 ou <= 0, respectivamente.

13/03/2014 - Aula 02 (Introdução a Funções)


Definição intuitiva de função: relacionamento especial entre dois conjuntos, onde cada elemento do primeiro tem um único correspondente no segundo.

 Definição formal 1 de função: Dados 2 conjuntos A e B, uma função de A em B é uma regra (sentença matemática) que associa cada elemento $x \in A$ com um único correspondente $y \in B$, chamado imagem de $x$.

Definição formal 2 de função: Dados 2 conjuntos A e B, função (ou aplicação) é uma relação binária (subconjuntos do produto cartesiano $A \times B$) de A em B, onde todo $x \in A$ tem para si um único correspondente $y \in B$, chamado imagem de $x$.


Notação gráfica e algébrica de Função

Domínio (D): conjunto dos elementos que possuem imagem

Contra-domínio (CD): conjunto em que "procuramos" as imagens dos elementos do domínio

Conjunto Imagem (I): conjunto das imagens dos elementos do domínio

Representação por Diagrama de Flechas:
Dadas as definições básicas, vejamos alguns exemplos de funções e não-funções (a representação em diagramas é chamada diagrama de flechas):

Não é função, pois o $3 \in X$ está associado com dois elementos de $Y$.

Não é função, pois o $1\in X$ não está associado com ninguém de $Y$. 
É função! Aqui $D=\{1,2,3\},\; CD=\{a,b,c,d,e\}\; e\; I=\{a,c,d\}$.
Representação por Listagem dos Elementos:
A função representada pelo último diagrama pode ser representada por listagem da seguinte maneira: seja f tal função. Então:
$f = \{(1,a), (2,c), (3,d)\}$


Representação gráfica de funções:
Seja $f: A \rightarrow B$ onde $A=[a,b]$ e $B=\mathbb{R}$. Os seguintes exemplos são todos exemplos de não-funções pois, para cada caso, um dado $x\in A$ possui mais que uma imagem $y\in B$.
Exemplos de não-funções.

O exemplo seguinte também não é função, pois nem todo $x\in A$ possui imagem.
Exemplo de não-função.

Finalmente, um exemplo gráfico de uma função:
Exemplo de função.
Neste último exemplo, o domínio $D=\mathbb{R}$, o contra-domínio CD é qualquer conjunto que contenha o conjunto Imagem $I=\{5, 3\} \cup [-5, -3]$. Possíveis exemplos de CD são: $CD=\mathbb{R}$ ou $CD=[-5, \infty)$ ou $CD=[-20, \infty)$. Todos estes satisfazem $I \subseteq CD$. Ainda neste exemplo, repare que: $f(0)=-5, \; f(-1)=5, \; f(2)=-3, \; f(3)=3, \; \text{e} f(x>2)=3$.


Exemplos de funções:

20/03/2014 - Aula 03 (Funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras)

Listas de Exercícios: (correspondentes às 3 aulas já dadas)


27/03/2014 - Aula 04 (Paridade de Funções: funções pares e ímpares)


Função Par:

A função é par quando f(-x) = f(x).

Exemplo: Estudemos a paridade da função f(x) = x².
Estudar a paridade é descobrir se ela é par, ou ímpar ou nenhum dos dois. Chutemos alguns valores para x:

x f(x) = x²
-0
0
0
0
-1
1
1
1
-2
4
2
4
-3
9
3
9

Veja que, ao que tudo indica, x e -x geram o mesmo f(x). Isso sugere que f(x) seja par. Para provar matematicamente este fato, precisamos mostrar que f(-x) = f(x). Façamos isso:

f(x) = x². Então f(-x) = (-x)² = x². Portanto, tanto f(x) quanto f(-x) são x². Ou seja, f(-x) = f(x). Mostramos matematicamente que f(x) = x² é uma função par.

Gráfico da função f(x) = x²
O gráfico acima mostra um fato útil: as funções pares são espelhadas em relação ao eixo vertical (y). Ou seja, o que aparece do lado esquerdo do eixo vertical, aparece igualzinho do lado direito. Outros exemplos de funções pares:
         
f(x) = cos(x)                                         f(x) = |x|   

Repare na simetria em relação ao eixo y. Isso diz que essas 2 funções também são pares. Matematicamente, a função cosseno é par porque $\cos(-x)=\cos(x)$, e a função modular também é par, porque $\mid -x \mid=\mid x \mid.$

Função Ímpar

A função é ímpar quando $f(-x)=-f(x)$

Exemplo: f(x) = x³.
É fácil ver que a função é ímpar, pois f(-x) = (-x)³ = - x³ = - f(x)
Montando a tabelinha pra verificar com alguns exemplos numéricos:

xf(x)=x³
-0
0
0
0
-1
-1
1
1
-2
-8
2
8
-3
-27
3
27

Repare que agora f(-x) = -f(x), quando x vale 0, 1, 2 e 3. De fato, mostramos que este é o caso para qualquer x, quando fizemos f(-x) = (-x)³ = - x³ = - f(x). Então nem precisaríamos ter montado a tabelinha. Só é útil montar a tabelinha quando não sabemos mostrar matematicamente, ou quando queremos ter uma idéia do que está acontecendo com a função.

O gráfico da função f(x) = x³ :
f(x) = x³
Gráficos de funções ímpares são ditos simétricos em relação à origem. Se esse nome não fizer muito sentido para você, não tem problema. É um nome estranho mesmo. Outros exemplos gráficos (também são funções ímpares, e portanto simétricos em relação à origem):
 
f(x) = x                                           f(x) = sen(x)

Função sem paridade (que não é ímpar nem par)

A maioria das funções não é nem ímpar nem par. Qualquer função que não tenha simetria em relação ao eixo y, nem simetria em relação à origem, não é par nem ímpar. Por exemplo, f(x) = x+1 não é par nem ímpar, pois f(-5) = - 4 e f(5) = 6. Ou seja, f(-5) ≠ f(5) (não é par) e  f(-5) ≠ - f(5) (não é ímpar).

Um critério que também pode ser usado para decidir se a função é par ou ímpar, é verificar a validade do Domínio. Para cada x do domínio, -x tem que pertencer ao domínio também. Se x ou -x não existirem no domínio, a função não é par nem ímpar. Resumindo, pra testar paridade, x e -x têm que pertencer ao domínio da função. A função raiz $f(x)=\sqrt{x}$ é um exemplo. Como o domínio é $\mathbb{R_+}$, se eu pego, por exemplo, x = 4, não existe x = -4 no domínio. Então não dá pra testar paridade.

Decomposição em funções par e ímpar

Qualquer função (desde que para cada x do domínio, -x também pertença ao domínio) pode ser decomposta numa soma de uma função par com uma função ímpar. Ou seja, f(x) = fi(x) + fp(x). Onde o índice i em fi(x) denota "ímpar", e o índice p em fp(x) denota "par". As funções fp(x) e fi(x) são dadas por:

$f_p(x)=\dfrac{f(x)+f(-x)}{2} \text{  e  }f_i=\dfrac{f(x)-f(-x)}{2}$

Assim, toda função (par, ímpar, ou nenhum dos 2) pode ser escrita como a soma de uma função par com uma ímpar:

$f(x)=f_p(x)+f_i(x)=\dfrac{f(x)+f(-x)}{2}+\dfrac{f(x)-f(-x)}{2}$

Exemplos:

  1. f(x) = x + 1
    • $f_i(x)=\dfrac{f(x)+f(-x)}{2}=\dfrac{(x+1)+(-x+1)}{2}=1$
    • $f_i(x)=\dfrac{f(x)-f(-x)}{2}=\dfrac{(x+1)-(-x+1)}{2}=x$
    • $f_p(x)+f_i(x)=x+1=f(x)$
  2. f(x) = x²+2x+3
    • $f_p(x)=x^2+3$ (confira!)
    • $f_i(x)=2x$ (confira!)
  3. $f(x) = \sqrt{x}$ não pode ser decomposta!! Problema no domínio!!
  4. $f(x) = \exp{x}$
    • $f_p(x) = \dfrac{\exp(x)+\exp(-x)}{2} = \cosh (x)$ (cosseno hiperbólico)
    • $f_i(x) = \dfrac{\exp(x)-\exp(-x)}{2}=\sinh (x)$ (seno hiperbólico)

Lista de exercícios dessa parte:

 Lista 8 (tem gabarito no final da lista) (Vídeo da resolução passo-a-passo)

03/04/2014 - Aula 05 (Exercícios do conteúdo visto até agora)


Resolveremos exercícios das listas 1 e 8.

Tentem resolver os exercícios antes dessa aula para melhor aproveitá-la.

17/04/2014 - Aula 06 (Função Composta e Inversa)

Função Composta

Condição de existência: Só é possível compor g com f se o conjunto Imagem de f for o domínio da função g. Ou seja, Im(f) = D(g).

Exemplo:
Seja f(x) = 2x+7 e g(x) = x²-1. Para x = -2, temos f(-2) = 3 e h(-2) = g(f(-2)) = g(3) = 8. Veja figura abaixo, onde h é a função composta de g com f.
Nesse exemplo a função composta de g com f é dada por h(x) = gof(x) = (gof)(x) = g(f(x)) = [f(x)]²-1 = (2x+7)²-1 = 4x²+28x+49-1 = 4x²+28x+48, ou seja, gof(x) = 4x²+28x+48 . Da mesma maneira podemos calcular a função composta de f com g, fog(x), que é dada por: fog(x) = 2x²+5 . Note que gof(x) ≠ fog(x) em geral.

Função Inversa

Dada a função bijetora f definida de A em B, a função inversa de f, com notação $f^{-1}$, é a função definida de B em A, tal que se $(x,y)\in f$, então $(y,x)\in f^{-1}$.
Determinação da inversa:
  • Passo 1: Expressar x em função de y.
  • Passo 2: Trocar os nomes de x com y e depois substituir y por $f^{-1}(x)$.

Exemplo: Inverter f(x) = 2x+1:
  • Passo 1: $y = 2x+1 \Leftrightarrow x = \dfrac{y-1}{2}$
  • Passo 2: $y = \dfrac{x-1}{2} \Leftrightarrow f^{-1}(x)=\dfrac{x-1}{2}$


Propriedades:
  • $f\circ f^{-1}(x) = x$
  • $(f^{-1}(x))^{-1}=f(x)$
  • $(f\circ g)^{-1} = g^{-1}\circ f{-1}$

Listas de Exercícios: (correspondentes à aula de hoje)

24/04/2014 - Aula 07 (Funções Elementares: Constante, Identidade e do 1o grau)




Função Constante

A função constante é y = f(x) = k , com k uma constante real qualquer. Veja o gráfico desta função a seguir:

Função Identidade

A função identidade é y = f(x) = x, ou seja, é a função onde cada elemento tem como imagem ele mesmo. Veja o gráfico a seguir:
O gráfico de uma função identidade é uma reta bissetriz dos quadrantes ímpares do plano cartesiano, passando pela origem do sistema.

Função de 1o grau (ou Afim)

A função do 1o grau tem que possuir grau = 1 (como o próprio nome sugere), e é da forma y = f(x) = a.x + b, onde a e b são números reais quaisquer, com a ≠ 0. Se a = 0, a função fica y = f(x) = b, que é uma função constante (grau 0). Ou seja, se a = 0 a função não é de 1o grau.


  • a é chamado coeficiente angular: ele dá a inclinação ("ângulo") da reta em relação ao eixo x.
    • se a > 0, a reta é crescente (inclinação positiva).
    • se a < 0, a reta é decrescente (inclinação negativa).
    • se a = 0 caímos no caso da função constante, cuja inclinação é zero (reta paralela ao eixo x).
  • b é chamado coeficiente linear: o gráfico toca o eixo y exatamente no ponto b.
  • o gráfico toca o eixo x no ponto -b/a, chamado de raiz da função.
    • raiz de uma função é o ponto em que o gráfico intercepta o eixo x . Para obtermos a raiz de uma função, devemos determinar o elemento para o qual a imagem é zero, ou seja, basta fazer f (x) = 0 e determinar qual é o x que satisfaz essa condição.
Obs: Vocês verão mais propriedades da função afim quando estudarem Geometria Analítica.






Lista de Exercícios: (correspondente à aula de hoje)

01/05/2014 - Aula 08 (Funções do 2o grau)


  • Forma de uma função do 2o grau: f(x) = a.x² + b.x + c , com a ≠ 0 obrigatoriamente. Se a = 0, não é função do 2o grau.
  • O gráfico de uma função do 2o grau é sempre uma parábola.
    • Se a > 0, a parábola tem concavidade (boca) para cima.
    • Se a < 0, a parábola tem concavidade (boca) para baixo.
  • Raiz da função: é o valor de x (ou valores de x) que fazem a função ficar nula, ou seja, f(x) = 0.
  • Para achar as raízes da função de 2o grau, utiliza-se Bhaskara:
Bhaskara
  • Passo 1: Calcula-se o delta: $\Delta = b^2 - 4ac$
  • Passo 2: Calcula-se $x = \dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$. Dependendo do valor de $\Delta$, teremos classes de respostas diferentes. Vejamos cada caso:
    • Se $\Delta > 0$: Existirão 2 raízes reais e distintas para x, e o gráfico tocará o eixo x nessas duas raízes, ou seja, tocará 2 vezes o eixo x.
    • Se $\Delta = 0$: Haverá 2 raiz reais e iguais para x. O gráfico tangencia o eixo x nessa raiz.
    • Se $\Delta < 0$: Não existirão raízes reais. As raízes serão complexas, mas não foi dado em aula. Neste caso o gráfico (parábola) não toca o eixo x.
Resumo sobre os Gráficos


Onde $V=(x_v, y_v)$, com $x_v = \dfrac{-b}{2a}$ e $y_v = \dfrac{-\Delta}{4a}.$

Link de ótimo texto sobre Funções do 2o grau: Texto Ministério da Educação.

Lista de Exercícios: (corresponde à aula de hoje)

08/05/2014 - Aula 09 (Inequações do 1o e 2o graus)



  • Forma da Inequação de 1o grau: a.x + b > 0.  Aqui o símbolo ">" poderia ser qualquer 1 dos 4 símbolos de desigualdades: $>, <, \leq, \text{ou} \geq.$
  • Forma da Inequação de 2o grau: a.x² + b.x + c > 0. De novo, o sinal ">" poderia ser qualquer 1 dos 4 símbolos de desigualdade.
Resolver uma inequação significa encontrar o Conjunto Solução S com todos os x's que satisfazem a desigualdade.


Procedimento para Inequação do 1o grau

Exemplo 1) Resolver a inequação $3x+9 \leq 0:$


  • Passo 1: Isola-se o x na inequação: $3x+9 \leq 0 \implies 3x \leq -9 \implies x \leq \dfrac{-9}{3} \implies x \leq -3$
  • Passo 2: Apresentar a resposta da forma de conjunto, o conjunto solução: $S=\{x \in \mathbb{R} | x \leq -3\}.$

Exemplo 3) Resolver a inequação $-3x + 9 > 3:$
  • Passo 1: Isolar o x: $-3x + 9 > 3 \implies -3x > 3 - 9 \implies -3x > -6 \implies x < \dfrac{-6}{-3} \implies x < 2.$ Observe que a desigualdade inverteu neste caso, devido à divisão por -3.
  • Passo 2: Apresentar a resposta em forma de conjunto solução: $S=\{x \in \mathbb{R} | x < 2\}.$


Procedimento para Inequação do 2o grau

Exemplo 1) Resolver a inequação $x^2 - 5x + 6 > 0:$

  • Passo 1: Encontrar as raízes. Usar Bhaskara ou "soma" e "produto" se for mais fácil. Neste exemplo as raízes são 2 e 3.
  • Passo 2: Traçar um gráfico simplificado da função f(x) = x² - 5.x + 6 . Explicação do que é este gráfico simplificado:
    • No gráfico simplificado, só colocar o eixo x (não precisa colocar o eixo y). Sobre o eixo x, marcar as raízes, se elas existirem. Esboçar a parábola com boca pra cima (se a>0) ou com boca pra baixo (se a<0), passando pelas raízes, se existirem. Se não existirem raízes reais, o gráfico nunca toca o eixo x.




  • Passo 3: Apresentar a resposta em forma de conjunto solução: $S=\{x \in \mathbb{R} | x < 2 \text{ ou } x > 3\}.$


 Lista de Exercícios:

15/05/2014 - Aula 10 (Inequações Produto e Quociente)


Lista de Exercícios:


22/05/2014 e 29/05/2014 - Aulas 11 e 12
(Funções, Equações e Inequações Exponenciais)


 Lista de Exercícios:
  • Lista 14: Tem a resolução da lista. Tentem fazer o máximo possível mas não precisa fazer toda.


26/06/2014 - Aula 13 (Logaritmos)

Foram dadas 3 aulas de logaritmos. Dia 26/06 foi o dia da última aula.


Definição: $log_a b = c \Leftrightarrow a^c=b$, onde:
  • $a$ é chamado base e tem a seguinte restrição: a > 0 e ≠ 1
  • $b$ é chamado logaritmando ou antilogaritmo e tem a seguinte restrição: b > 0
  • $c$ é chamado logaritmo e não tem restrição. Pode ser qualquer número real.


Algumas decorrências da definição:


D1) $\log_a 1 = 0$

D2) $\log_a a = 1$
D3) $\log_a a^n = n$, pra qualquer n real.
D4) $a^{\log_a b} = b$


Algumas propriedades úteis:

P1) Propriedade da soma: $\log_a (b \cdot c) = \log_a b + \log_a c$
P2) Propriedade da subtração: $\log_a (b/c) = \log_a b - \log_a c$
P3) Propriedade da potência do logaritmando: $\log_a b^c = c \cdot \log_a b$
P4) Propriedade da potência da base: $\log_{a^c} b = \dfrac{1}{c} \cdot \log_a b$
P5) Propriedade da Mudança de Base: $\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}$, para $c > 0 \text{ e } \neq 1$


Função logarítmica: É qualquer função que envolva log e x. Exemplos : $f(x) = \log_3 (4x^2) + x$ e $g(x) = \log (2x)$.

A figura abaixo ilustra alguns gráficos de funções logarítmicas com diferentes bases. Repare que o comportamento da função é diferente para bases > 1 e para bases entre 0 e 1.



Função inversa da log(x): A inversa da função logarítmica é a função exponencial. Exemplos:
  • $\log_{10} x$ e $10^x$ são funções inversas uma da outra;
  • $\ln x$ e $e^x=\exp{x}$ são inversas entre si;
  • $\log_a x$ e $a^x$ são inversas entre si.

O gráfico abaixo ilustra as funções inversas $h(x)=\log x$ e $g(x)=10^x$:




Equação logarítmica: É qualquer igualdade entre duas funções logarítmicas. Exemplo: $\log (x) = 3 \cdot \log_4 8 \cdot x$.


Inequação (desigualdade) logarítmica: É qualquer desigualdade entre duas funções logarítmicas. Exemplo: $\log (x) > 3 \cdot \log_4 8 \cdot x$. A exemplo das inequações exponenciais, quando resolvemos inequações logarítmicas temos que trocar os sinais das desigualdades se a base do log estiver entre 0 e 1.


Resolvendo equações e inequações logarítmicas

Há 3 passos que devem ser seguidos para se resolver uma equação (ou inequação) logarítmica.

  1. Enumerar as condições de existência (CE) de todos os logs e exponenciais que aparecem no enunciado, baseando-se nas restrições de base (> 0 e ≠ 1) e de logaritmando (>0).
  2. Resolver (encontrar os valores de x que satisfazem a equação ou inequação) utilizando a definição, decorrências ou propriedades apresentadas.
  3. Validar/checar o resultado (passo 2) contra as CEs (passo 1), e apresentar a solução (conjunto S).


Exemplo 1) Resolver $\log_3 (x-5) = 2$ usando definição.

  • Passo 1: CE:  x-5 > 0 => x > 5  (essa é a condição de existência: x>5)
  • Passo 2: Resolver usando a definição: $3^2 = x-5 \implies x = 9+5=14$.
  • Passo 3: Verificar: 14 > 5. Ou seja, 14 está "ok". Ele é um elemento do conjunto solução. Portanto a resposta será: S = {14}.



Exemplo 2) Resolver $\log_x 16 = 2$ usando definição:
  • Passo 1: CE: x > 0 e x ≠ 1  são as CE's.
  • Passo 2: Resolver (usando definição): $x^2 = 16 \implies x=4 \text{ ou } x=-4.$
  • Passo 3: Verificar: 4 > 0 e ≠ 1: satisfaz CE. Porém, -4 não é > 0. Ou seja, -4 não satisfaz CE, e não deve, portanto, fazer parte do conjunto solução S. A resposta será: S = {4}.
Exemplo 3) (log's com mesma base) Resolver $\log_7 (x^2-4) = \log_7 (3x)$.
  • Passo 1:  CE: $x^2-4 > 0 \implies x<-2 \text{ ou } x>2$ e $3x>0 \implies x>0$. Portanto, a CE fica resumida a x > 2 apenas.
  • Passo 2: Resolver: Como os logaritmos estão com a mesma base, e a função log é injetora, podemos simplesmente igualar os logaritmandos neste caso. Assim, a resolução fica: $\log_7 (x^2-4)=\log_7(3x) \implies x^2-4=3x \implies x=-1\, ou\, x=4$
  • Passo 3: Verificação: 4 > 2 => 4 está OK. Mas o -1 não é > 2. Portanto -1 não está OK. Ele não aparece na resposta. A resposta/solução é: S = {4}.


Exemplo 4) Agora um exemplo de inequação logarítmica. Resolver $\log_{0.2} (x^2-4) \geq \log_{0.2} (3x)$, usando o fato de que as bases são iguais.
  • Passo 1: CE: x > 2 (é o mesmo cálculo do exemplo 3)
  • Passo 2: Resolução. Aqui a resolução muda um pouco em relação ao exemplo 3. Ela fica parecida com a resolução que fizemos dos exercícios de inequações exponenciais: $\log_{0.2} (x^2-4) \geq \log_{0.2} (3x) \implies (x^2-4) \leq (3x) \implies -1 \leq x \leq 4.$ Repare que o sinal da desigualdade mudou porque a base vale 0.2 (está entre 0 e 1).
  • Passo 3: Verificação contra a CE: Devemos fazer a intersecção entre o intervalo válido (CE) e o intervalo encontrado no passo 2. Ou seja, $[-1, 4] \cap (2, \infty) = (2, 4]$. A solução será: S = (2, 4].


Exemplo 5) Resolver usando mudança de variáveis: $(\log x)^2 - \log x - 2 = 0$
  • Passo 1: CE: x > 0
  • Passo 2: Resolução (usando mudança de variáveis). Fazemos a seguinte mudança de variáveis: y = log x. Daí a equação a ser resolvida fica $y^2 - y - 2 = 0$, cuja solução é y = 2 ou y = -1. Mas y = log x, portanto:
    • para y = 2, temos: log x = 2 => 10² = x => x = 100
    • para y = -1, temos: log x = -1 => 10⁻¹ = x => x = 0,1
  • Passo 3: Verificação. Ambos os valores obtidos para x satisfazem a CE (x>0). S = {0.1, 100}.


Exemplo 6) Resolver usando propriedades:  $\log_4 3 + \log_4 (x-2) = \log_4 9$.
  • Passo 1: CE: x-2 > 0 => x > 2.
  • Passo 2: Resolução (usando propriedades). Usando a propriedade P1 (soma de logaritmos), temos: $\log_4 3 + \log_4 (x-2) = \log_4 9 \Leftrightarrow \log_4 (3 \cdot (x-2)) = \log_4 9 \implies 3 \cdot (x-2) = 9 \Leftrightarrow x = 3 + 2 = 5$
  • Passo 3: Verificação: O 5 satisfaz a CE, pois 5 > 2. Portanto, S = {5}
Exemplo 7) Resolver aplicando mudança de base (propriedade P5): $\log_4 x + \log_8 x - \log_2 x = -1$.
  • Passo 1: CE: x > 0
  • Passo 2: Resolução (usando mucança de base = propriedade P5): Escolho a base menor (2). Assim, usando P5, $\log_4 x + \log_8 x - \log_2 x = -1 \Leftrightarrow \log_{2^2} x + \log_{2^3} x - \log_2 x = -1 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2} \log_2 x + \dfrac{1}{3} \log_2 x - \log_2 x = -1$. Colocando em evidência o termo $\log_2 x$, temos: $\dfrac{1}{2} \log_2 x + \dfrac{1}{3} \log_2 x - \log_2 x = -1 \Leftrightarrow (\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} - 1)\cdot\log_2 x = -1 \Leftrightarrow -\dfrac{1}{6}\cdot\log_2 x = -1 \Leftrightarrow \log_2 x = 6 \Leftrightarrow x = 2^6 = 64.$
  • Passo 3: Verificação: 64 > 0 => 64 é solução. Ou seja,  S = {64}.
Lista de Exercícios:


03/07/2014 - Aula 14 (Módulo, Função Modular, Equações e Inequações Modulares)


Módulo de um número real x



Função modular f(x) = | x |

A função modular f(x) = | x | possui domínio $D=\mathbb{R}$, contra-domínio $CD=\mathbb{R}$ e conjunto imagem $Im=\mathbb{R_+}$.

Gráfico: Para traçar o gráfico precisamos primeiro montar uma tabela com pares de valores (x,y):

xf(x)=|x|
-4
4
-3
3
-2
2
-1
1
0
0
1
1
2
2
3
3
4
4

O gráfico ficou assim:



Propriedades de módulos

P1) $|x| \geq 0, \forall x \in \mathbb{R} \text{  e  } |x|=0 \Leftrightarrow x = 0$
P2) $|x| = a \Leftrightarrow x = a \text{  ou  } x=-a, (a \geq 0)$
P3) $|x| = |y| \Leftrightarrow x=y \text{  ou  } x=-y$
P4) $|x| < a \Leftrightarrow -a<x<a, (a \geq 0)$
P5) $|x| > a \Leftrightarrow x<-a \text{  ou  } x>a, (a \geq 0)$
P6) $|x \cdot y| = |x| \cdot |y|$
P7) $|\frac{x}{y}| = \dfrac{|x|}{|y|}\,, \text{ com } y \neq 0$
P8) $\sqrt{x^2} = |x|$
P9) $|x|^{2n}=|x^{2n}|=x^{2n}$


Listas de Exercícios (possuem gabarito):

  - Aula 15 (Resolução de exercícios Fuvest sobre funções)




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